Quasigruppe

In der Mathematik ist eine Quasigruppe ein Magma ${\displaystyle Q}$ mit einer binären Verknüpfung ${\displaystyle \star \colon Q\times Q\rightarrow Q}$, in der für alle ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle Q}$ die Gleichungen

${\displaystyle a\star x=b}$

und

${\displaystyle y\star a=b}$

jeweils genau eine Lösung für ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ haben. Das heißt, eine Lösung existiert und ist eindeutig.

Eine Quasigruppe ist von Strukturen zu unterscheiden, in denen lediglich die sog. Kürzungseigenschaft (s. u.) gefordert wird. Dort wird zwar auch die Eindeutigkeit der Lösungen dieser Gleichungen gefordert, aber nur falls überhaupt eine Lösung existiert. Mitunter wird gefordert, dass die zugrundeliegende Menge nicht leer ist.

Ein endliches Magma ist genau dann eine Quasigruppe, wenn die Verknüpfungstabelle ein lateinisches Quadrat ist, wenn also in jeder Zeile und in jeder Spalte der Tabelle jedes Element von ${\displaystyle Q}$ genau einmal vorkommt.